Least squares (LS) estimation is one of the most important tools in geodetic data analysis. However, its prevailing use is not often complemented by an objective view of its rudiments. Within the standard formalism of LS estimation theory there are actually several paradoxical and curious issues which are seldom explicitly formulated. The aim of this expository paper is ro present some of these issues and ro discuss their implications for geodetic data analysis and parameter estimation problems. In the first part of the paper, an alternative view of the statistical principles that are traditionally linked to LS estimation is given. Particularly, we show that the property of unbiasedness for the ordinary LS estimators can be replaced with a different, yet equivalent, constraint which implies that the numerical range of the unknown parameters is boundless. In the second part of the paper, the shortcomings of the LS method are exposed from a purely algebraic perspective, without employing any concepts from the probabilistic/statistical framework of estimation theory. In particular, it is explained that what is 'least' in least squares is certainly not the errors in the estimated model parameters, and that in every LS-based inversion of a linear model there exists a critical trade-off between the Euclidean norms of the parameter estimation errors and the adjusted residuals.

W niniejszej pracy podjęto próbę oszacowania wpływu błędów przypadkowych i systematycznych w danych grawimetrycznych na undulacje geoidy obliczone przy użyciu techniki szybkiej transformacji Fouriera (FFT), wykorzystując średnie anomalie grawimetryczne w siatce 2' x 2' oraz 5' x 5', dla których symulowano błędy przypadkowe i systematyczne. Przeprowadzono trzy testy, z których pierwszy dotyczył wpływu błędów przypadkowych w anomaliach grawimetrycznych na obliczane undulacje geoidy, drugi - wpływu błędów systematycznych, natomiast trzeci - wpływu obu rodzajów błędów jednocześnie. Sprawdzano także czy, i ewentualnie jak, gęstość danych grawimetrycznych wpływa na propagacje błędów. Uzyskane wyniki testów numerycznych umożliwiają ocenę wpływu zarówno błędów przypadkowych, jak i systematycznych w danych grawimetrycznych na wyznaczaną undulację geoidy. Zostały one również wykorzystane do oceny jakości modelu grawimetrycznej quasigeoidy obliczonej dla obszaru Polski.

Progresywnie udostępniane są nowe satelitarne globalne modele geopotencjału (GGMs), opracowane na podstawie danych z misji grawimetrycznych CHAMP i GRACE. Modele te cechują się wzrastającą w porównaniu ze starszymi modelami dokładnością wyznaczenia niskiego i średniego rzędu harmonik pola grawitacyjnego Ziemi. W niniejszej pracy przeanalizowano najnowsze modele wygenerowane w oparciu o dane z misji CHAMP i GRACE, a mianowicie: EIGEN2, EIGEN3p, GGM0 IC, GGMO IS i GRACE0 IS, w aspekcie ich dokładności i przydatności do badania pola grawitacyjnego Ziemi. Przeprowadzono analizę widmową tych modeli z włączeniem ich wariancji stopnia i błędów wariancji stopnia. Dokonano wzajemnego porównania wyników uzyskanych przy zastosowaniu tych modeli oraz modelu EGM96. Określono najdokładniej opisane przez każdy z modeli części widma pola grawitacyjnego Ziemi. W wyniku opracowano kombinowany globalny model geopotencjału, kompletny do stopnia i rzędu 360, którego wspólczynnik.i do stopnia 5 pochodzą z modeli z misji CHAMP, kolejne wspólczynniki do stopnia 116 - z modeli z misji GRACE, zaś pozostałe - do stopnia 360 - z modelu EGM96. Wysokości geoidy obliczone z badanych modeli, łącznie z modelem kombinowanym, zostały porównane na obszarze lądowym z danymi z pomiarów GPS i niwelacji, zaś na obszarze morskim - z wysokościami morza otrzymanymi z altimetrycznej misji TOPEX/Posejdon. Porównań dokonano na obszarze Grecji i we wschodniej części Morza Śródziemnego. Wyniki porównania wskazują, iż spośród badanych modeli, opracowany kombinowany globalny model geopotencjału dostarcza - w odniesieniu do kontrolnych danych - najdokładniejszych wyników: na poziomie 1-2 cm w wysokości geoidy i 1-2 mGal w anomalii grawimetrycznej (l o-). Co więcej, absolutną dokładność geoidy obliczonej z kombinowanego globalnego modelu geopotencjału oceniono odpowiednio jako 12.9 cm ( lrr ) dla 11 = 120, 25 cm dla 11 = 200 i 33 cm dla 11 = 360, w porównaniu odpowiednio z 29 cm, 36 cm i 42 cm dla EGM96.

Udostępniony obecnie model gęstości skorupy ziemskiej CRUST 2.0 został poddany weryfikacji w aspekcie informacji na temat granicy skorupa-płaszcz zarówno w skali globalnej jak i regionalnej. Ocena numeryczna zawartej w bazie danych informacji dotyczącej gęstości i położenia poszczególnych warstw skorupy ziemskiej względem poziomu morza dokonywana jest w procesie badania korelacji z topografią terenu i poprzez porównanie otrzymanych wartości ze znanymi teoretycznymi modelami opisującymi mechanizm kompensacji pomiędzy skorupą i płaszczem. Opisane badania skoncentrowane są w szczególności na ostatniej warstwie modelu CRUST 2.0, która reprezentuje powierzchnię graniczną między skorupą i płaszczem, znaną pod nazwą powierzchni nieciągłości Mohorovicica. Bezpośrednie porównanie struktury Moho wynikającej z modelu gęstości skorupy ziemskiej CRUST 2.0 z odpowiednią głębokością kompensacji wyznaczoną przy użyciu teorii Airy/Heiskanena przeprowadzono zarówno w skali globalnej jak i regionalnej. Porównania, szczególnie przeprowadzone w wybranych rejonach globu, o charakterystycznych cechach tektonicznych, takich jak pasma górskie, rowy oceaniczne, dają możliwość zarówno oceny numerycznej bazy danych jak i równoczesnego zobrazowania lokalnych i regionalnych cech znanych mechanizmów izostazji.

W systemach GIS sąsiedztwo obszarów analizowanego regionu jest pojęciem stosowanym tylko dla danych rastrowych. Przeniesienie tego pojęcia na dane wektorowe i opisowe oraz usystematyzowanie modeli tak pojętego sąsiedztwa stanowi przedmiot tego opracowania. Punktem wyjścia jest założenie, że podstawowy model sąsiedztwa obszarów może być przygotowany na podstawie danych przestrzennych, zobrazowany za pomocą grafu i opisany macierzą sąsiedztwa. Stanowi on podstawę do budowy następnych modeli, które wiążą się z wprowadzeniem nowych miar sąsiedztwa - miar wynikających z charakterystyk obszarów zapisanych w tabelach ich atrybutów. W oparciu o proponowane modele można wykonywać potrzebne analizy przestrzenne związane z sąsiedztwem obszarów oraz konstruować modele agregatowe, niezbędne w wielowymiarowej analizie sąsiedztwa.

W niniejszej pracy ukazano koncepcję metody wyrównania sieci geodezyjnych z zastosowaniem szeregów Edgewortha i Zasady Wyboru Alternatywy. Szereg Edgewortha jest aproksymantą opisującą empiryczne rozkłady błędów pomiarów. Pozwala ona na uwzględnienie w zadaniach wyrównawczych istotnych anomalii dotyczących podstawowych parametrów empirycznego rozkładu prawdopodobieństw błędów obserwacji geodezyjnych. Jako metodę estymacji zastosowano Zasadę Wyboru Alternatywy. Na szczególną uwagę zasługuje jej naturalna odporność na obserwacje odstające, co dało podstawę opracowania metody ZWA-E. W pracy przedstawiono algorytm rozwiązania oraz testy numeryczne. Celem testów było porównanie wyników wyrównania metody ZWA-E z metodą NK, a w szczególności ustalenie wpływu niezerowych wartości ekscesu na wyniki wyrównania oraz wskazanie na naturalną odporność nowej metody na obserwacje odstające.

Metoda radarowa, realizowana poprzez wykorzystanie przyrządów nazywanych georadarami, należy do nieniszczących metod określania położenia struktur i obiektów podpowierzchniowych. Bezpośrednim efektem pomiaru georadarem jest tzw. radargram, który jest radarowym obrazem, czyli zapisem dotyczącym pionowego przekroju penetrowanych warstw, struktur i obiektów podpowierzchniowych. Dostarcza on informacji o istnieniu i wzajemnym usytuowaniu tych warstw i innych elementów. Często przedmiotem badań są struktury i obiekty podziemne. Radargram jako bezpośredni wynik pomiaru wymaga właściwego opracowania w celu jego interpretacji i wykorzystania. Artykuł skupia uwagę na zagadnieniu rozszerzenia możliwości interpretacji i wykorzystania wyników pomiarów georadarowych poprzez właściwą integrację zaawansowanych programów filtrowania tych wyników, programów graficznych oraz programów środowiska CAD i SIT. Celem takiej integracji jest uzyskanie metrycznego modelu 3D obiektów i struktur podpowierzchniowych lokalizowanych metodą georadarową. Przedstawione w opracowaniu sposoby i etapy generowania przestrzennych modeli podpowierzchniowych uzupełniają metody prac geodezyjnych w zakresie pozyskiwania danych stanowiących treści map tematycznych.

Artykuł dotyczy procesu kalibracji semi-metrycznych kamer cyfrowych. Stosując takie kamery do pomiaru małych obiektów, zdjęcia muszą być wykonane w bardzo dużej skali, w zakresie od około I :20 do I :50. W celu zapewnienia dokładności pomiaru fotogrametrycznego na poziomie poniżej pól milimetra, należy stosować specjalne procedury i testy kalibracyjne dla określenia parametrów orientacji wewnętrznej, łącznie ze współczynnikami opisującymi błędy systematyczne zdjęć. W niniejszym artykule, przedstawiono porównanie dwóch metod, bazujących na obrazach dwuwymiarowych i trójwymiarowych testów kalibracyjnych. Wykonany eksperyment jest częścią projektu badawczego, finansowanego przez KBN, który dotyczy numerycznego modelowania fragmentów rzeźb w celu rekonstrukcji oryginalnego kontekstu zabytku.

W pracy omówiono zagadnienie rozwiązywania nadokreślonych układów równań liniowych z zastosowaniem metod estymacji mocnych, które eliminują niekorzystny wpływ obserwacji odstających na wyniki estymacji. Proces estymacji wektora parametrów został zrealizowany za pomocą sieci neuronowych o strukturze obwodowej. Formułowane zagadnienia w aspekcie ich rozwiązywania, wymagały sformułowania funkcji energetycznej (funkcji celu), której postać modyfikowano przez zastosowanie określonej funkcji wagowej. W końcowej części pracy dokonano oceny skuteczności opisanych metod w zakresie kontroli i diagnostyki nadokreślonego układu równań obserwacyjnych. Artykuł stanowi jedynie przyczynek do szeroko pojętego zagadnienia geodezyjnych zastosowań estymatorów mocnych.

W procesie tworzenia oraz modernizacji i aktualizacji baz danych ewidencji gruntów i budynków potrzebna jest znajomość dokładności analitycznego obliczenia pola powierzchni. Znajomość precyzyjnie wyznaczonego pola powierzchni jest nieodzowna również przy realizacji innych przedsięwzięć gospodarczych, chociażby w zakresie obsługi inwestycji lub kontroli dopłat bezpośrednich dla rolnictwa realizowanych w ramach Zintegrowanego Systemu Zarządzania i Kontroli (!ACS). W sytuacji dwukrotnego wyznaczania pola powierzchni obiektu ze współrzędnych jego punktów wierzchołkowych, wyznaczonych na podstawie wyników dwóch niezależnych, jednakowo dokładnych pomiarów, również stwierdza się różnicę w uzyskanych wynikach obliczeń. Wielkość stwierdzonej różnicy, powstałej w naturalny sposób - wskutek działania prawa przenoszenia się błędów, należy poddać dyskusji w aspekcie jej dopuszczalności. W niniejszej pracy przeprowadzono analizę obowiązujących w Polsce uwarunkowań technicznych i prawnych w zakresie dopuszczalnych błędów analitycznego wyznaczenia powierzchni. Przedstawiono następnie sposób wyznaczenia wielkości dopuszczalnych różnic dwukrotnego obliczenia pola powierzchni obiektów katastralnych (i innych) ze współrzędnych punktów załamania ich granic, przy założeniu wyznaczenia tych współrzędnych z obowiązującą dokładnością (tj. stanowiącą łącznie błąd położenia punktu nie większy niż O. I O m) oraz z uwzględnieniem kształtu obiektu geometrycznego i wielkości jego pola powierzchni. Zaproponowano wzór definiujący maksymalną wielkość dopuszczalnej różnicy dwukrotnego obliczenia pola powierzchni, która jest funkcją powierzchni działki i jej kształtu oraz dokładności wyznaczenia położenia jej punktów wierzchołkowych. W dalszej kolejności wyniki uzyskane z użyciem zaproponowanego wzoru porównano z wynikami otrzymanymi przy wykorzystaniu obowiązującej w Polsce formuły oraz innymi wzorami zaczerpniętymi z literatury. Zrealizowane badania wykazały, iż w celu zapisywania pól powierzchni obiektów katastralnych zgodnie z obowiązującymi przepisami należy znacznie podnieść dokładność wyznaczania położenia punktów granicznych.

Matematyczny opis zależności pomiędzy zdjęciem i terenem odgrywa ważną rolę w opracowaniu fotogrametrycznym, zwłaszcza dla wysokorozdzielczych obrazów satelitarnych. Obecnie, opracowanie wysokorozdzielczych obrazów satelitarnych dla tworzenia ortofotornap, generowania DEM/DTM jest zagadnieniem najczęściej opisywanym w literaturze. Budowa modeli sensora jest podstawą dla przetwarzania wysokorozdzielczych obrazów satelitarnych. W ostatnich latach, prace badawcze w wielu ośrodkach na świecie koncentrowały się na budowie modeli sensora. Modele sensorów mogą być podzielone na dwie grupy: wielomianowe (lub zastępcze) i parametryczne (lub fizyczne). Modele wielomianowe opisują pośrednią zależność pomiędzy terenem i obrazem bez potrzeby znajomości parametrów orbity. Modele parametryczne opisują zaś bezpośrednią zależność pomiędzy terenem i obrazem przy użyciu parametrów orbity satelity. W niniejszej pracy przedstawiono przegląd praktycznych dokładności modeli wysokorozdzielczych obrazów, zbadanych w ciągu ostatnich lat w różnych ośrodkach naukowo-badawczych.

Przy wyznaczaniu centymetrowej quasigeoidy niezbędne jest uwzględnienie nieregularności topografii występujących wokół stacji grawimetrycznej, czyli wprowadzenie do pomierzonego przyspieszenia siły ciężkości poprawek terenowych. Dokładność obliczania poprawek terenowych ma wpływ na dokładność wyznaczanego modelu quasigeoidy. Zależy ona od dokładności i rozdzielczości danych wysokościowych oraz użytych do wyznaczania poprawek terenowych parametrów. W badaniach przeprowadzonych w ramach niniejszej pracy wykorzystano opracowany przez Zarząd Geografii Wojskowej, według standardu NATO-STANAG 3809, numeryczny model terenu DTED2 (Digital Terrain Elevation Data) dla obszaru Polski oraz modele SRTM3 (The Shuttle Radar Topography Mission) i SRTM30 dla obszaru Polski i obszarów przyległych. Porównano wyniki testowe obliczenia poprawki terenowej uzyskane przy użyciu metody prostopadłościanów i metody wykorzystującej transformaty Fouriera. Poprawki terenowe obliczano metodą prostopadłościanów polegającą na sumowaniu wpływów nadwyżek lub niedoborów mas pochodzących od graniastosłupów o podstawach prostokątnych na składową pionową przyspieszenia siły ciężkości. Opracowano praktyczną metodę wyznaczania wymiary obszaru, z jakiego topografia powinna być uwzględniana przy obliczaniu poprawki terenowej. Analizowano również wpływ błędów wysokości, a także błędów położenia punktów modelu na dokładność uzyskiwanych poprawek terenowych. Przedyskutowano użyteczność dostępnych danych dotyczących topografii terenu do obliczania precyzyjnych poprawek terenowych w Polsce. Uzyskane wynik.i badań wykorzystano do określenia strategii obliczenia poprawek terenowych dla ponad miliona punktów grawimetrycznych zawartych w bazie danych grawimetrycznej dla Polski. Dzięki obliczonemu dla I 078 046 punktów grawimetrycznych zbiorowi poprawek terenowych możliwe będzie zwiększenie precyzji obliczanych dla obszaru Polski modeli quasigeoidy grawimetrycznej.